Goniometria - Angoli, archi, radianti

Consideriamo sulla circonferenza di centro O, in figura, un punto A e un punto B. La parte di circonferenza compresa tra questi due punti si dice arco. A è origine dell'arco; B è estremo dell'arco. Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro della circonferenza. Si dice che l'angolo AÔB sottende l'arco AB.

La relazione che esiste tra l'arco e l'angolo al centro che lo sottende è espresso dalla formula:

l : 2πr = α : 360°

dove l è la lunghezza dell'arco e α è l'ampiezza dell'angolo. Si può cosi passare dall'ampiezza in gradi sessagesimali alla sua misura lineare, noto il raggio della circonferenza, e viceversa.

Un altro modo di misurare gli archi (e gli angoli che li sottendono, di conseguenza) è assumere come unità di misura il radiante. 

✔ Il radiante è l'arco che, rettificato, è congruente al raggio della circonferenza cui l'arco appartiene.

Passare da gradi sessagesimali a radianti o viceversa è semplice, con questa formula:

180° : π rad = x (gradi°) : y (rad)

Ci basterà sostituire a x o y la misura del nostro angolo per avere la conversione nell'unità di misura prescelta.

Facciamo qualche esempio:

se il nostro angolo misura 30° (x=30°)

allora y= (30° π rad) / 180° = π/6  rad

e viceversa, se il nostro angolo misura π/6  rad (y=π/6  rad)

allora x= (180° π/6  rad) / π rad = 30°

o, più semplicemente sostituendo 180° al π.

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Gli angoli - Teoria ed esercizi

L’angolo è ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette aventi l’origine in comune. Le due semirette sono i lati dell’angolo; la loro origine si chiama vertice.

Il piano resta diviso in due angoli: un angolo concavo e un angolo convesso. L’angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati si dice concavo. L’angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati si dice convesso.

 

Classificazione degli angoli secondo la loro ampiezza

 

Gli angoli vengono misurati in base alla propria ampiezza. L’unità di misura è il grado sessagesimale (la novantesima parte dell’angolo retto).

 

Un angolo giro comprende tutto il piano. Misura 360°. 

Un angolo piatto è un angolo i cui lati sono semirette opposte. Misura 180°.

Un angolo retto ha per lati due semirette perpendicolari. Misura 90°.

Un angolo ottuso ha un’ampiezza maggiore di 90°.

Un angolo acuto ha un’ampiezza minore di 90°.

 

Angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice quando i prolungamenti dei lati dell’uno sono i lati dell’altro. Due angoli opposti al vertice sono congruenti (hanno la stessa ampiezza).

 

La bisettrice è la semiretta avente origine nel vertice e che divide l’angolo in due parti uguali. È anche definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due semirette aventi origine comune.

 

Angoli complementari, supplementari e esplementari

Due angoli si dicono complementari se la loro somma dà un angolo retto (90°).

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma dà un angolo piatto (180°).

Due angoli si dicono esplementari se la loro somma dà un angolo giro (360°).

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Rette, semirette e segmenti - Teoria ed esercizi

La retta è uno dei tre enti fondamentali della geometria Euclidea. È un concetto primitivo, quindi non se ne può dare una definizione concreta e non si può riprodurre nella realtà. Ciò che più assomiglia a una retta è un filo di cotone. La retta, però, non deve avere spessore: è un insieme infinito di punti allineati lungo una stessa direzione.

Aiutandoci con un disegno è facile rendersi conto di queste due proprietà:

Per un punto passano infinite rette. E per due punti distinti (non coincidenti) passa una ed una sola retta.

Siccome possiamo individuare un’unica retta, conoscendo solo due punti che le appartengono, possiamo, ad esempio, definire retta AB la retta passante per i due punti A e B.

Tre o più punti si dicono allineati se appartengono alla stessa retta: 

Due rette si dicono incidenti se hanno un punto in comune; questo punto prende il nome di punto di intersezione.

La semiretta è ciascuna delle dua parti in cui la retta viene divisa da un suo punto. Ha un inizio, ma non una fine. È anch'essa infinita e non ha spessore. La sua unica dimensione è la lunghezza.

  

Il punto O è detto origine. Le due semirette in figura vengono dette opposte: hanno il punto di origine in comune e sono allineate lungo la stessa direzione.

Il segmento è la parte di retta limitata da due punti, che vengono definiti estremi del segmento.

Pur essendo una figura limitata (di cui si può stabilire una lunghezza precisa), anche il segmento è un insieme infinito di punti.

Due segmenti che hanno un estremo comune si dicono consecutivi. Se giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti.

 

Curiosità! Come calcolare il punto medio di un segmento?
Il punto medio di un segmento lo divide un due parti uguali (congruenti). Per individuare il punto medio posiziona la punta del compasso su un estremo del segmento e, con la matita sull’altro estremo, traccia una circonferenza. Ripeti la stessa operazione dall’altra parte. Poi unisci i due punti di intersezione. Il punto in cui questa nuova retta incontra il segmento sarà il punto medio.

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